Разница между кардинальными и порядковыми числами

Кардинал против Порядка 
 

В нашей повседневной жизни использование чисел может принимать различные формы в разных ситуациях. Например, когда мы рассчитываем для определения размера коллекции объектов, мы считаем их как один, два, три и так далее. Когда мы хотим что-то посчитать, чтобы понять положение объектов, мы считаем их первым, вторым, третьим и так далее. В первой форме подсчета числа называются кардинальными числами. Во второй форме подсчета числа считаются порядковыми числами. В этом контексте понятия кардинальные и порядковые являются полностью вопросом лингвистики; кардинальные и порядковые прилагательные.

Однако расширение понятия на множества в математике раскрывает гораздо более глубокую и широкую перспективу и не может рассматриваться в простых терминах. В этой статье мы попытаемся понять фундаментальные понятия кардинальных и порядковых чисел в математике.

Формальные определения кардинальных и порядковых чисел приведены в теории множеств. Определения являются сложными, и чтобы понять их в полном смысле, необходимы базовые знания в теории множеств. Поэтому мы обратимся к паре примеров, чтобы понять концепции эвристически.

Рассмотрим два набора 1,3,6,4,5,2 и автобус, машина, паром, поезд, самолет, вертолет. В каждом наборе указан набор элементов, и если мы посчитаем количество элементов, то очевидно, что каждый из них имеет одинаковое количество элементов, равное 6. Придя к такому выводу, мы взяли размер одного набора и сравнили с другим, используя число. Такое число называется кардинальным числом. Таким образом, мы можем сказать, что кардинальное число - это число, которое мы можем использовать для сравнения размеров конечных множеств..

Опять же, первый набор чисел можно расположить в порядке возрастания, учитывая размер каждого элемента и сравнивая их. В процессе заказа номера считаются кардиналами. Аналогично, множество всех неотрицательных целых чисел может быть упорядочено в наборе; т.е. 0,1,2,3,4,…. Но в этом случае размер множества становится бесконечным, и дать его в терминах ординалов невозможно. Независимо от того, какое число вы выберете, чтобы задать размер набора, все равно будут оставаться числа из набора, которые вы выбрали, и которые являются неотрицательными целыми числами..

Поэтому математики определяют этот бесконечный кардинал (который является первым) как Алеф-0, записанный как א (первая буква в еврейском алфавите). Формально порядковый номер является типом заказа хорошо упорядоченного набора. Следовательно, порядковый номер конечных множеств может быть задан кардинальными числами, а для бесконечных множеств порядковый номер задан трансфинитными числами, такими как Aleph-0..

В чем разница между кардинальными и порядковыми числами?

• Кардинальное число - это число, которое можно использовать для подсчета или определения размера конечного упорядоченного множества. Все кардинальные числа являются порядковыми.

• Порядковые числа - это числа, используемые для определения размера как конечных, так и бесконечных упорядоченных множеств. Размер конечных упорядоченных множеств задается обычными индуистско-арабскими алгебраическими числами, а бесконечный размер множества задается трансфинитными числами..