Разница между разностным уравнением и дифференциальным уравнением

Разностное уравнение против дифференциального уравнения

Природный феномен может быть математически описан функциями ряда независимых переменных и параметров. Особенно, когда они выражаются функцией пространственного положения и времени, это приводит к уравнениям. Функция может изменяться при изменении независимых переменных или параметров. Бесконечно малое изменение, происходящее в функции при изменении одной из ее переменных, называется производной этой функции.

Дифференциальное уравнение - это любое уравнение, которое содержит производные функции, а также саму функцию. Простое дифференциальное уравнение - это уравнение второго закона Ньютона. Если объект массы m движется с ускорением «а» и действует с силой F, то второй закон Ньютона говорит нам, что F = ma. Здесь снова «а» меняется со временем, мы можем переписать «а» как; а = дв / дт; v скорость. Скорость - это функция пространства и времени, то есть v = ds / dt; следовательно, 'a' = d²с / дт².

Имея это в виду, мы можем переписать второй закон Ньютона как дифференциальное уравнение;

'F' как функция от v и t - F (v, t) = mdv / dt или

'F' как функция от s и t - F (s, ds / dt, t) = m d²с / дт²

Есть два типа дифференциальных уравнений; обыкновенное дифференциальное уравнение, сокращенно ОДУ или уравнение в частных производных, сокращенно ОДУ. У обыкновенного дифференциального уравнения будут обычные производные (производные только от одной переменной). Дифференциальное уравнение с частными производными будет содержать в себе дифференциальные производные (производные нескольких переменных).

например F = m d²с / дт² является ODE, тогда как α² d²п / дх² = du / dt является PDE, имеет производные от t и x.

Разностное уравнение такое же, как дифференциальное уравнение, но мы смотрим на него в другом контексте. В дифференциальных уравнениях независимая переменная, такая как время, рассматривается в контексте непрерывной системы времени. В дискретной системе времени мы называем функцию разностным уравнением.

Разностное уравнение является функцией разностей. Различия в независимых переменных бывают трех типов; последовательность чисел, дискретная динамическая система и итерированная функция.

В последовательности чисел изменение генерируется рекурсивно с использованием правила, связывающего каждое число в последовательности с предыдущими числами в последовательности..

Разностное уравнение в дискретной динамической системе принимает некоторый дискретный входной сигнал и производит выходной сигнал.

Разностное уравнение является итеративной картой для итерированной функции. Например, у₀, F (Y₀), f (f (у₀)), f (f (f (y)₀))),… .Последовательность итерированной функции. Ф (у₀) первая итерация y₀. K-я итерация будет обозначаться как f^К(у₀).