Разница между ортогональным и ортонормированным

Ортогональный против Ортонормального

В математике два слова, ортогональные и ортонормированные, часто используются вместе с набором векторов. Здесь термин «вектор» используется в том смысле, что он является элементом векторного пространства - алгебраической структуры, используемой в линейной алгебре. Для нашего обсуждения мы рассмотрим пространство внутренних произведений - векторное пространство. В вместе с внутренним продуктом [] определено на В.

Например, для внутреннего произведения пространство - это набор всех трехмерных векторов положения вместе с обычным точечным произведением.

Что ортогонально?

Непустое подмножество S внутреннего пространства продукта В называется ортогональным, если и только если для каждого отчетливый ты в S, [u, v] = 0; то есть внутренний продукт U и v равен нулевому скаляру во внутреннем пространстве произведений.

Например, в наборе всех трехмерных векторов положения это эквивалентно тому, чтобы сказать, что для каждой отдельной пары векторов положения п и Q в S, п и Q перпендикулярны друг другу. (Помните, что внутренним произведением в этом векторном пространстве является скалярное произведение. Также скалярное произведение двух векторов равно 0 тогда и только тогда, когда два вектора перпендикулярны друг другу.)

Рассмотрим набор S = (0,2,0), (4,0,0), (0,0,5), который является подмножеством трехмерных векторов положения. Заметим, что (0,2,0). (4,0,0) = 0, (4,0,0).(0,0,5) = 0 & (0,2,0).(0,0,5) = 0. Следовательно, множество S является ортогональным. В частности, два вектора называются ортогональными, если их внутреннее произведение равно 0. Поэтому каждая пара векторов в Sортогональный.

Что такое ортонормированный?

Непустое подмножество S внутреннего пространства продукта В называется ортонормированным тогда и только тогда, когда S является ортогональным и для каждого вектора U в S, [u, u] = 1. Следовательно, можно видеть, что каждое ортонормированное множество ортогонально, а не наоборот.

Например, в наборе всех трехмерных векторов положения это эквивалентно тому, чтобы сказать, что для каждой отдельной пары векторов положения п и Q в S, п и Q перпендикулярны друг другу, и для каждого п в S, | Р | знак равно 1. Это потому что условие [p, p] = 1 сводится к p.p = | р || р |cos0 = | Р |²= 1, что эквивалентно | Р | знак равно 1. Поэтому, учитывая ортогональное множество, мы всегда можем сформировать соответствующее ортонормированное множество, разделив каждый вектор на его величину.

T = (0,1,0), (1,0,0), (0,0,1) - ортонормированное подмножество множества всех трехмерных векторов положения. Легко видеть, что он был получен путем деления каждого вектора в наборе S, по величине.

В чем разница между ортогональным и ортонормированным?

• Непустое подмножество S внутреннего пространства продукта В называется ортогональным, если и только если для каждого отдельного ты в S, [u, v] = 0. Однако это ортонормировано, если и только если дополнительное условие - для каждого вектора U в S, [u, u] = 1 доволен.
• Любое ортонормированное множество ортогонально, но не наоборот.
• Любой ортогональный набор соответствует уникальному ортонормированному набору, но ортонормированный набор может соответствовать множеству ортогональных наборов.