Разница между степенными сериями и сериями Тейлора

Серия Power против серии Taylor

В математике действительная последовательность представляет собой упорядоченный список действительных чисел. Формально это функция от набора натуральных чисел до набора действительных чисел. Если _Nзатем^го термин последовательности, мы обозначаем последовательность через или ₁,₂,...,_N,…. Например, рассмотрим последовательность 1, ½, ⅓,… , ¹/_N,… Его можно обозначить как 1 / n.

Можно определить серию, используя последовательности. Серия - это сумма членов последовательности. Следовательно, для каждой последовательности есть связанная последовательность и наоборот. Если_п является рассматриваемой последовательностью, то ряд, образованный этой последовательностью, может быть представлен как:                                           

 Таким образом, в приведенном выше примере связанный ряд равен 1+¹/₂+¹/₃+...  + ¹/_N +... . 

Как следует из названий, степенные ряды представляют собой особый тип рядов и широко используются в численном анализе и связанном математическом моделировании. Ряд Тейлора - это особый ряд степеней, который предоставляет альтернативный и простой в использовании способ представления известных функций..

Что такое серия Power?

Степенная серия - это серия формы

    

который сходится (возможно) для некоторого интервала с центром в с. Коэффициенты _N может быть действительным или комплексным числом и не зависит от Икс; т.е.. фиктивная переменная.

Например, установив _N= 1 для каждого N, и с = 0, степенной ряд 1 + х + х²+… + Х^N+… Получается. Легко заметить, что когда x ε (-1,1), этот степенной ряд сходится к 1 / (1-x).          

Степенной ряд сходится, когда Икс знак равно с. Другие значения Икс для которого степенной ряд сходится, всегда будет принимать форму открытого интервала с центром в с. То есть, будет значение 0≤ R ≤ ∞ такой, что для каждого Икс удовлетворяющий | x-c | ≤р, степенной ряд сходится и для каждого Икс  удовлетворяющий | x-c |>р, Степенные ряды расходятся. Это значение р называется радиусом сходимости степенного ряда (р может принимать любое реальное значение или положительную бесконечность).

Степенные ряды можно складывать, вычитать, умножать и делить, используя следующие правила. Рассмотрим два степенных ряда:       

   

                               .

потом,                 

т.е.. подобные термины складываются или вычитаются вместе. Кроме того, можно умножить и разделить два степенных ряда, используя,

Что такое серия Тейлор?

Ряд Тейлора определен для функции е(Икс), который бесконечно дифференцируем на интервале. Предполагать е(Икс) дифференцируемо на интервале с центром в с. Тогда степенной ряд, который дается

                                                                                                                                

называется разложение функции ряда Тейлора е(Икс) около с. (Вот е^(П)(с) Обозначим n^го производная в Икс знак равно с). В численном анализе конечное число членов в этом бесконечном разложении используется при вычислении значений в точках, где ряд сходится к исходной функции.

Функция е(Икс) называется аналитическим в интервале (а, б), если для каждого x ε (a, b) ряд Тейлора е(Икс) сходится к функции е(Икс). Например, 1 / (1-x) аналитична относительно (-1,1), поскольку ее разложение Тейлора 1 + x + x²+… + Х^N+... сходится к функции на этом интервале, и е^Икс  аналитичен везде, так как ряд Тейлора е^Икссходится к е^Икс за каждое действительное число Икс.

В чем разница между сериями Power и Taylor?

1. Ряд Тейлора - это специальный класс степенных рядов, определенных только для функций, которые бесконечно дифференцируемы на некотором открытом интервале.

2. Ряды Тейлора принимают особую форму

        

в то время как степенной ряд может быть любой серией вида