Разница между определенными и неопределенными интегралами

Исчисление является важной отраслью математики, и дифференцирование играет решающую роль в исчислении. Обратный процесс дифференцирования известен как интеграция, а обратный процесс известен как интеграл, или, проще говоря, обратный дифференциал дает интеграл. На основании полученных результатов интегралы делятся на два класса, а именно: определенные и неопределенные интегралы..

Определенный интеграл

Определенный интеграл F (X) является НОМЕРОМ и представляет область под кривой F (X) из х = в х = Ь.

Определенный интеграл имеет верхний и нижний пределы для интегралов, и он называется определенным, потому что в конце задачи у нас есть число - это определенный ответ.

Неопределенный Интеграл

Неопределенный интеграл от f (x) является ФУНКЦИЕЙ и отвечает на вопрос: «Какая функция при дифференцировании дает F (X)?»

С неопределенным интегралом здесь нет верхнего и нижнего пределов интеграла, и мы получим ответ, который все еще имеет Икснаходится в нем и также будет иметь константу (обычно обозначается как С) в этом.

Неопределенный интеграл обычно дает общее решение дифференциального уравнения.

Неопределенный интеграл является более общей формой интегрирования, и его можно интерпретировать как антипроизводную рассматриваемой функции.

Предположим, дифференциация функции F приводит к другой функции е, и интеграция f дает интеграл. Символически это написано как

Р (х) = ∫ƒ (х) ах

или

F = ∫ƒ dx

где оба F и ƒ являются функциями Икс, и F дифференцируемо В приведенном выше виде он называется интегралом Реймана, и результирующая функция сопровождает произвольную постоянную.

Неопределенный интеграл часто порождает семейство функций; следовательно, интеграл неопределен.

Интегралы и процесс интеграции лежат в основе решения дифференциальных уравнений. Однако, в отличие от этапов дифференциации, этапы интеграции не всегда следуют четкой и стандартной процедуре. Иногда мы видим, что решение не может быть выражено явно через элементарную функцию. В этом случае аналитическое решение часто дается в виде неопределенного интеграла.

Основная теорема исчисления

Определенный и неопределенный интеграл связаны основной теоремой исчисления следующим образом: для вычисления определенный интеграл, Найди неопределенный интеграл (также известный как анти-производная) функции и оценки в конечных точках х = и х = Ь.

Разница между определенными и неопределенными интегралами станет очевидной, как только мы оценим интегралы для одной и той же функции.

Рассмотрим следующий интеграл:

OK. Давайте сделаем их оба и увидим разницу.

Для интеграции нам нужно добавить единицу в индекс, что приведет нас к следующему выражению:

На данный момент С это просто константа для нас. Требуется дополнительная информация в задаче, чтобы определить точное значение С.

Давайте оценим тот же интеграл в его определенной форме, то есть с включенными верхним и нижним пределами.

Графически говоря, мы теперь вычисляем площадь под кривой f (x) = y³ между у = 2 и у = 3.

Первый шаг в этой оценке аналогичен неопределенной интегральной оценке. Разница лишь в том, что на этот раз мы не добавляем постоянную С.

Выражение в этом случае выглядит следующим образом:

Этот поворот приводит к:

По сути, мы заменили 3, а затем 2 в выражении и получили разницу между ними.

Это определенное значение, а не использование постоянного С ранее.

Давайте рассмотрим постоянный фактор (относительно неопределенного интеграла) более подробно.

Если дифференциал Y³ является 3y², тогда

∫3y²DY = Y³

тем не мение, 3y² может быть дифференциалом многих выражений, некоторые из которых включают Y³-5, Y³+7, и т.д.… Это означает, что обращение не является уникальным, так как константа не учитывается во время операции.

Так в общем, 3y² является дифференциалом Y³+С где С любая константа. Кстати, С известен как «постоянная интеграции».

Мы пишем это как:

∫ 3y².дх = у³ + С

Методы интеграции для неопределенного интеграла, такие как поиск в таблице или интеграция Risch, могут добавить новые разрывы в процессе интеграции. Эти новые разрывы появляются потому, что антипроизводные могут потребовать введения сложных логарифмов.

Сложные логарифмы имеют разрыв скачка, когда аргумент пересекает отрицательную вещественную ось, и алгоритмы интегрирования иногда не могут найти представление, где эти скачки отменяются.

Если определенный интеграл оценивается сначала путем вычисления неопределенного интеграла, а затем подставляя в результат границы интегрирования, мы должны знать, что неопределенная интеграция может привести к разрывам. Если да, то мы должны исследовать разрывы в интервале интегрирования..