Разница между определенными и неопределенными интегралами

Определенные против неопределенных интегралов

Исчисление является важной отраслью математики, и дифференцирование играет решающую роль в исчислении. Обратный процесс дифференцирования известен как интеграция, а обратный процесс известен как интеграл, или, проще говоря, обратный дифференциал дает интеграл. На основании полученных результатов интегралы делятся на два класса; определенные и неопределенные интегралы.

Подробнее о неопределенных интегралах

Неопределенный интеграл является более общей формой интегрирования, и его можно интерпретировать как антипроизводную рассматриваемой функции. Предположим, что дифференцирование F дает f, а интегрирование f дает интеграл. Часто записывается как F (x) = ∫ƒ (x) dx или F = ∫ƒ dx, где и F, и functions являются функциями от x, а F дифференцируемо. В приведенной выше форме он называется интегралом Реймана, и результирующая функция сопровождает произвольную постоянную. Неопределенный интеграл часто порождает семейство функций; следовательно, интеграл неопределен.

Интегралы и процесс интеграции лежат в основе решения дифференциальных уравнений. Однако, в отличие от дифференциации, интеграция не всегда следует четкой и стандартной процедуре; иногда решение не может быть выражено явно через элементарную функцию. В этом случае аналитическое решение часто дается в виде неопределенного интеграла.

Подробнее об определенных интегралах

Определенные интегралы являются многозначными аналогами неопределенных интегралов, где процесс интеграции фактически производит конечное число. Он может быть графически определен как площадь, ограниченная кривой функции given в данном интервале. Всякий раз, когда интегрирование выполняется в заданном интервале независимой переменной, интегрирование дает определенное значение, которое часто записывается как ∫^бƒ (х) дх или ∫^б ƒdx.

Неопределенные интегралы и определенные интегралы взаимосвязаны посредством первой фундаментальной теоремы исчисления, и это позволяет вычислять определенный интеграл с использованием неопределенных интегралов. Теорема утверждает ∫^бƒ (x) dx = F (b) -F (a), где F и ƒ являются функциями от x, а F дифференцируема в интервале (a, b). Учитывая интервал, a и b известны как нижний предел и верхний предел соответственно.

Вместо того, чтобы останавливаться только на реальных функциях, интегрирование можно распространить на сложные функции, и эти интегралы называются контурными интегралами, где ƒ является функцией комплексной переменной.

В чем разница между определенными и неопределенными интегралами?

Неопределенные интегралы представляют собой антипроизводную функции и часто семейство функций, а не определенное решение. В определенных интегралах интегрирование дает конечное число.

Неопределенные интегралы связывают произвольную переменную (отсюда и семейство функций), и определенные интегралы имеют не произвольную постоянную, а верхний предел и нижний предел интегрирования.

Неопределенный интеграл обычно дает общее решение дифференциального уравнения.