Разница между арифметическим и геометрическим рядами

Арифметика против геометрической серии
 

Математическое определение ряда тесно связано с последовательностями. Последовательность - это упорядоченный набор чисел, который может быть как конечным, так и бесконечным. Последовательность чисел с разницей между двумя элементами, являющейся константой, известна как арифметическая прогрессия. Последовательность с постоянным отношением двух последовательных чисел называется геометрической прогрессией. Эти прогрессии могут быть как конечными, так и бесконечными, и, если число конечных элементов конечно, оно исчисляется, в противном случае неисчислимо.

Как правило, сумма элементов в прогрессии может быть определена как ряд. Сумма арифметической прогрессии известна как арифметическая серия. Аналогично, сумма геометрической прогрессии известна как геометрический ряд.

Подробнее об арифметической серии

В арифметическом ряду последовательные члены имеют постоянную разницу.

S_N = а₁ + ₂ + ₃ + ₄ +⋯ + а_N = ∑^N_{I = 1 я} ; где₂ = а₁ + д, а₃ = а₂ + д и т. д..

Эта разница d известна как общая разница, а n^го термин дается_N = а₁+ (П-1) d; где₁ это первый срок.

Поведение ряда изменяется в зависимости от общей разницы d. Если общая разница положительна, прогрессия стремится к положительной бесконечности, а если общая разница отрицательна, она стремится к отрицательной бесконечности.

Сумма ряда может быть получена по следующей простой формуле, которая была впервые разработана индийским астрономом и математиком Арьябхатой.

S_N = н / 2 (а₁+ _N ) = n / 2 [2a₁ + (П-1) d]

Сумма S_N может быть конечным или бесконечным, в зависимости от количества членов.

Подробнее о геометрической серии

Геометрический ряд - это ряд с частным от числа постоянных чисел. Это важный ряд, найденный при изучении ряда, из-за свойств, которыми он обладает.

S_N = ар + ар² + Арканзас³ +Ar + ар^N = ∑^N_{I = 1} Арканзас^я

На основе отношения r поведение ряда можно классифицировать следующим образом. r = | r | ≥1 ряд расходится; сходится ряд r≤1. Кроме того, если г<0 the series oscillates, i.e. the series has alternating values.

Сумма геометрического ряда может быть рассчитана по следующей формуле. S_N = а (1-й^N) / (1-р); где а - начальный член, а r - отношение. Если отношение r≤1, ряд сходится. Для бесконечного ряда значение сходимости определяется как S_N= а / (1-й).

Геометрические ряды имеют многочисленные приложения в области физических наук, техники и экономики

В чем разница между арифметической и геометрической сериями?

• Арифметический ряд - это ряд с постоянной разницей между двумя смежными членами.

• Геометрический ряд - это ряд с постоянным отношением между двумя последовательными членами.

• Все бесконечные арифметические ряды всегда расходятся, но в зависимости от соотношения геометрический ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся..

• Геометрический ряд может иметь колебания в значениях; то есть числа меняют свои знаки альтернативно, но арифметический ряд не может иметь колебаний.