Разница между производным и дифференциальным

Производная против дифференциала
 

В дифференциальном исчислении производная и дифференциал функции тесно связаны, но имеют очень разные значения и используются для представления двух важных математических объектов, связанных с дифференцируемыми функциями..

Что является производным?

Производная функции измеряет скорость, с которой значение функции изменяется при изменении ее входа. В многопеременных функциях изменение значения функции зависит от направления изменения значений независимых переменных. Поэтому в таких случаях выбирается конкретное направление, и функция дифференцируется в этом конкретном направлении. Эта производная называется производной по направлению. Частичные производные - это особый вид направленных производных.

Производная вектор-функции е можно определить как предел везде, где оно существует, конечно. Как упоминалось ранее, это дает нам скорость увеличения функции е вдоль направления вектора U. В случае однозначной функции это сводится к известному определению производной,  

Например, везде дифференцируемо, а производная равна пределу, , который равен . Производные функций, таких как   существуют повсюду. Они соответственно равны функциям .                                                                                

Это известно как первая производная. Обычно первая производная функции е обозначается е ⁽¹⁾. Теперь, используя эту запись, можно определить производные более высокого порядка. является производной по направлению второго порядка, и обозначает N^го производная от е ^(N) для каждого N, ,  определяет N^го производное.

Что такое дифференциал?

Дифференциал функции представляет собой изменение функции относительно изменений в независимой переменной или переменных. В обычных обозначениях для данной функции е одной переменной Икс, общий дифференциал порядка 1 дф это дано, . Это означает, что для бесконечно малого изменения Икс(то есть дИкс), там будет  е ⁽¹⁾(Икс) дИкс изменить в е.

Используя пределы, можно получить это определение следующим образом. Предположим, ∆Икс это изменение в Икс в произвольной точке Икс и ∆е это соответствующее изменение в функции е. Можно показать, что ∆f = f ⁽¹⁾(Икс) ΔИкс+ ε, где ϵ - ошибка. Теперь предел ∆х →0^Δе/_ΔИксзнак равно е ⁽¹⁾(Икс) (используя ранее указанное определение производной) и, таким образом, ∆х →0^ε/_ΔИкс= 0. Следовательно, можно сделать вывод, что ∆х →0ε = 0. Теперь, обозначая ∆х →0 ∆е как де и ∆х →0 ∆Икс как дИкс определение дифференциала строго получено. 

Например, дифференциал функции является .

В случае функций двух или более переменных полный дифференциал функции определяется как сумма дифференциалов в направлениях каждой из независимых переменных. Математически это можно сформулировать как .