Разница между производным и интегралом

Производная против Интеграла

Дифференцирование и интеграция являются двумя фундаментальными операциями в исчислении. Они имеют многочисленные приложения в нескольких областях, таких как математика, инженерия и физика. И производные, и интегральные обсуждают поведение функции или поведения физического объекта, который нас интересует.

Что такое производная?

Предположим, что у = ƒ (х) и х₀ находится в области ƒ. Тогда лим_{→ ∞? X}Δy / Δx = lim_{Δх → ∞}[ƒ (х₀+Δx) - ƒ (x₀)] / Δx называется мгновенной скоростью изменения ƒ при x₀, если этот предел существует конечно. Этот предел также называется производной от at и обозначается через ƒ (x).

Значение производной функции е в произвольной точке Икс в области функции задается лим_{Δх → ∞}[ƒ (x + Δx) - ƒ (x)] / Δx. Это обозначается любым из следующих выражений: y, ƒ (x), ƒ, dƒ (x) / dx, dƒ / dx, D_ИксY.

Для функций с несколькими переменными определим частную производную. Частная производная функции с несколькими переменными является ее производной по одной из этих переменных, предполагая, что другие переменные являются константами. Символом частной производной является ∂.

Геометрически производную функции можно интерпретировать как наклон кривой функции ƒ (x).

Что такое Интеграл?

Интеграция или антидифференциация - это обратный процесс дифференциации. Другими словами, это процесс поиска исходной функции, когда дается производная функции. Следовательно, интеграл или антипроизводная функции ƒ (x), если, ƒ (x) =F(х) может быть определена как функция F(x), для всех x в области ƒ (x).

Выражение ∫ƒ (x) dx обозначает производную функции ƒ (x). Если ƒ (x) =F(x), тогда ∫ƒ (x) dx = F(x) + C, где C - постоянная, ∫ƒ (x) dx называется неопределенным интегралом от ƒ (x).

Для любой функции ƒ, которая не обязательно неотрицательна и определена на интервале [a, b], ∫^бƒ (x) dx называется определенным интегралом ƒ на [a, b].

Определенный интеграл ∫^бƒ (x) dx функции ƒ (x) можно геометрически интерпретировать как площадь области, ограниченной кривой ƒ (x), осью x и линиями x = a и x = b.