Разница между рядами Фурье и преобразованием Фурье

Ряд Фурье против преобразования Фурье

Ряд Фурье разлагает периодическую функцию на сумму синусов и косинусов с разными частотами и амплитудами. Ряд Фурье является ветвью анализа Фурье и был введен Джозефом Фурье. Преобразование Фурье - это математическая операция, которая разбивает сигнал на составляющие его частоты. Исходный сигнал, который изменился во времени, называется представлением сигнала во временной области. Преобразование Фурье называется представлением сигнала в частотной области, поскольку оно зависит от частоты. Как представление сигнала в частотной области, так и процесс, используемый для преобразования этого сигнала в частотную область, называются преобразованием Фурье..

Что такое ряд Фурье?

Как упоминалось ранее, ряд Фурье представляет собой разложение периодической функции с использованием бесконечной суммы синусов и косинусов. Ряд Фурье был первоначально разработан при решении уравнений теплопроводности, но позже выяснилось, что этот же метод можно использовать для решения большого набора математических задач, особенно задач, в которых используются линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Теперь серия Фурье находит применение в большом количестве областей, включая электротехнику, анализ вибрации, акустику, оптику, обработку сигналов, обработку изображений, квантовую механику и эконометрику. Ряды Фурье используют отношения ортогональности функций синуса и косинуса. Расчет и исследование рядов Фурье известен как гармонический анализ и очень полезен при работе с произвольными периодическими функциями, поскольку он позволяет разбить функцию на простые термины, которые можно использовать для получения решения исходной задачи..

Что такое преобразование Фурье?

Преобразование Фурье определяет взаимосвязь между сигналом во временной области и его представлением в частотной области. Преобразование Фурье разбивает функцию на колебательные функции. Поскольку это преобразование, исходный сигнал может быть получен из знания преобразования, таким образом, никакая информация не создается и не теряется в процессе. Изучение рядов Фурье фактически обеспечивает мотивацию для преобразования Фурье. Благодаря свойствам синусов и косинусов можно восстановить количество каждой волны, вносящей вклад в сумму, используя интеграл. Преобразование Фурье обладает некоторыми основными свойствами, такими как линейность, перевод, модуляция, масштабирование, сопряжение, двойственность и свертка. Преобразование Фурье применяется при решении дифференциальных уравнений, поскольку преобразование Фурье тесно связано с преобразованием Лапласа. Преобразование Фурье также используется в ядерном магнитном резонансе (ЯМР) и в других видах спектроскопии..

Разница между рядами Фурье и преобразованием Фурье

Ряд Фурье - это расширение периодического сигнала в виде линейной комбинации синусов и косинусов, в то время как преобразование Фурье - это процесс или функция, используемая для преобразования сигналов из временной области в частотную область. Ряд Фурье определяется для периодических сигналов, а преобразование Фурье может применяться к апериодическим (возникающим без периодичности) сигналам. Как упоминалось выше, исследование рядов Фурье фактически обеспечивает мотивацию для преобразования Фурье.