Разница между интеграцией и суммированием

Интеграция против Суммирование
 

В математике выше средней школы интеграция и суммирование часто встречаются в математических операциях. По-видимому, они используются в качестве разных инструментов и в разных ситуациях, но у них очень тесные отношения.

Подробнее о суммировании

Суммирование - это операция добавления последовательности чисел, и эта операция часто обозначается греческой буквой заглавной сигмы Σ. Он используется для сокращения суммы и равен сумме / сумме последовательности. Они часто используются для представления серий, которые по сути представляют собой суммированные бесконечные последовательности. Их также можно использовать для указания суммы векторов, матриц или полиномов.

Суммирование обычно выполняется для диапазона значений, которые могут быть представлены общим термином, таким как ряд, имеющий общий термин. Начальная точка и конечная точка суммирования известны как нижняя граница и верхняя граница суммирования, соответственно..

Например, сумма последовательности а₁, ₂, ₃, ₄, ...,_N это₁ + ₂ + ₃ +… +_N которая может быть легко представлена ​​с помощью записи суммирования как ∑^N_{I = 1 я}; я называется индексом суммирования.

Многие варианты используются для суммирования на основе приложения. В некоторых случаях верхняя граница и нижняя граница могут быть заданы как интервал или диапазон, например ∑_{1≤i≤100 я} и ∑_{i∈ [1100] я}. Или это может быть дано как набор чисел как ∑_{i∈P я} , где P определенное множество.

В некоторых случаях могут использоваться два или более сигма-знака, но они могут быть обобщены следующим образом; Σ_J Σ_К Дж.К. = ∑_{J, K Дж.К.}.

Кроме того, суммирование следует многим алгебраическим правилам. Поскольку встроенная операция является сложением, многие из общих правил алгебры могут применяться к самим суммам и к отдельным слагаемым, отображаемым суммированием..

Подробнее об интеграции

Интеграция определяется как обратный процесс дифференциации. Но в его геометрическом виде его также можно рассматривать как область, ограниченную кривой функции и осью. Поэтому расчет площади дает значение определенного интеграла, как показано на диаграмме.

Источник изображения: http://en.wikipedia.org/wiki/File:Riemann_sum_convergence.png

Значение определенного интеграла на самом деле является суммой небольших полос внутри кривой и оси. Площадь каждой полосы - это высота × ширина в точке на рассматриваемой оси. Ширина - это значение, которое мы можем выбрать, скажем, ∆x. А высота - это примерно значение функции в рассматриваемой точке, скажем е(Икс_я). Из диаграммы видно, что чем меньше полоски, тем лучше полосы укладываются внутри ограниченной области, следовательно, лучшее приближение значения.

Итак, в целом определенный интеграл я, между точками a и b (т.е. в интервале [a, b], где aя ≅ е(Икс₁)? x + е(Икс₂) ∆x + ⋯ + е(Икс_N) ∆x, где n - количество полос (n = (b-a) / ∆x). Это суммирование площади может быть легко представлено с использованием записи суммирования как я ≅ ∑^N_{I = 1} е(Икс_я)? X. Поскольку аппроксимация лучше, когда ∆x меньше, мы можем вычислить значение, когда ∆x → 0. Поэтому разумно сказать, я = лим_{→ 0? X} Σ^N_{I = 1} е(Икс_я)? x.

В качестве обобщения из вышеприведенной концепции, мы можем выбрать Δx на основе рассматриваемого интервала, индексированного i (выбор ширины области на основе позиции). Тогда мы получим

я= Нт_{→ 0? X} Σ^N_{I = 1} е(Икс_я) ∆x_я знак равно ∫^б е(Х) ах

Это известно как интеграл Рейманна функции е(х) в интервале [а, б]. В этом случае a и b известны как верхняя и нижняя границы интеграла. Интеграл Реймана является основной формой всех методов интегрирования.

По сути, интеграция - это суммирование площади, когда ширина прямоугольника бесконечно мала.

В чем разница между интеграцией и суммированием?

• Суммирование - это сложение последовательности чисел. Обычно суммирование дается в таком виде ∑^N_{I = 1 я} когда термины в последовательности имеют образец и могут быть выражены с использованием общего термина.

• Интеграция - это в основном область, ограниченная кривой функции, осью и верхним и нижним пределами. Эта область может быть задана как сумма гораздо меньших областей, включенных в ограниченную область.

• Суммирование включает в себя дискретные значения с верхними и нижними границами, тогда как интеграция включает в себя непрерывные значения.

• Интеграция может быть интерпретирована как особая форма суммирования.

• В методах численных расчетов интегрирование всегда выполняется как сумма.