Разница между преобразованиями Лапласа и Фурье

Лаплас против преобразований Фурье
 

Как преобразование Лапласа, так и преобразование Фурье являются интегральными преобразованиями, которые чаще всего используются в качестве математических методов для решения математически моделируемых физических систем. Процесс прост. Сложная математическая модель преобразуется в более простую, разрешимую модель с использованием интегрального преобразования. Как только более простая модель решена, применяется обратное интегральное преобразование, которое даст решение исходной модели.

Например, поскольку большинство физических систем приводят к дифференциальным уравнениям, они могут быть преобразованы в алгебраические уравнения или в легко разрешимые дифференциальные уравнения более низкой степени с использованием интегрального преобразования. Тогда решение проблемы станет проще.

Что такое преобразование Лапласа??

Учитывая функцию е (T) реальной переменной T, его преобразование Лапласа определяется интегралом (всякий раз, когда он существует), который является функцией комплексной переменной s. Обычно обозначается как L е (T). Обратное преобразование Лапласа функции F(s) принимается за функцию е (T) таким образом, что L е (Tзнак равно F(s), и в обычной математической записи мы пишем, L ^-1F(sзнак равно е (T).Обратное преобразование может быть сделано уникальным, если нулевые функции не разрешены. Можно идентифицировать эти два как линейные операторы, определенные в функциональном пространстве, и также легко видеть, что L ^-1L е (Tзнак равно е (T), если нулевые функции не разрешены.

В следующей таблице перечислены преобразования Лапласа некоторых наиболее распространенных функций..

Что такое преобразование Фурье?

Учитывая функцию е (T) реальной переменной T, его преобразование Лапласа определяется интегралом (всякий раз, когда он существует), и обычно обозначается как F е (T). Обратное преобразование F ^-1F(α) задается интегралом . Преобразование Фурье также является линейным и может рассматриваться как оператор, определенный в функциональном пространстве..

Используя преобразование Фурье, исходная функция может быть записана следующим образом при условии, что функция имеет только конечное число разрывов и является абсолютно интегрируемой.

В чем разница между преобразованиями Лапласа и Фурье?

• Преобразование функции Фурье е (T) определяется как , в то время как преобразование Лапласа определяется как .
• Преобразование Фурье определяется только для функций, определенных для всех действительных чисел, тогда как преобразование Лапласа не требует, чтобы функция была определена при установке отрицательных действительных чисел..
• Преобразование Фурье является частным случаем преобразования Лапласа. Видно, что оба совпадают для неотрицательных действительных чисел. (т.е. взять s в Лапласе быть iα + β где α и β реальны так, что е ^βзнак равно ¹/_{√ (2ᴫ)})
• Каждая функция, имеющая преобразование Фурье, будет иметь преобразование Лапласа, но не наоборот.