Разница между линейными и нелинейными дифференциальными уравнениями

Линейные и нелинейные дифференциальные уравнения
 

Уравнение, содержащее по меньшей мере один дифференциальный коэффициент или производную неизвестной переменной, называется дифференциальным уравнением. Дифференциальное уравнение может быть линейным или нелинейным. Цель данной статьи - объяснить, что такое линейное дифференциальное уравнение, что такое нелинейное дифференциальное уравнение и в чем разница между линейными и нелинейными дифференциальными уравнениями.

Начиная с развития исчисления в 18-м веке математиками, такими как Ньютон и Лейбниц, дифференциальное уравнение играло важную роль в истории математики. Дифференциальные уравнения имеют большое значение в математике из-за их области применения. Дифференциальные уравнения лежат в основе каждой модели, которую мы разрабатываем, чтобы объяснить любой сценарий или событие в мире, будь то физика, инженерия, химия, статистика, финансовый анализ или биология (список бесконечен). Фактически, пока исчисление не стало установленной теорией, соответствующие математические инструменты были недоступны для анализа интересных проблем в природе..

Результирующие уравнения из конкретного приложения исчисления могут быть очень сложными и иногда не решаемыми. Тем не менее, есть те, которые мы можем решить, но могут выглядеть одинаково и запутанно. Поэтому для облегчения идентификации дифференциальные уравнения классифицируются по их математическому поведению. Линейный и нелинейный является одной из таких категорий. Важно определить разницу между линейными и нелинейными дифференциальными уравнениями.

Что такое линейное дифференциальное уравнение?

Предположим, что f: X → Y и f (x) = y, a дифференциальное уравнение без нелинейных членов неизвестной функции Y и его производные известны как линейное дифференциальное уравнение.

Это налагает условие, что у не может быть более высоких индексов, таких как у², Y³,... и кратные производные, такие как 

Он также не может содержать нелинейные термины, такие как грех Y, е^{Y^ -2}, или ln Y. Принимает форму, 

где Y и грамм являются функциями Икс. Уравнение является дифференциальным уравнением порядка N, который является индексом производной высшего порядка.

В линейном дифференциальном уравнении дифференциальный оператор является линейным оператором, а решения образуют векторное пространство. В результате линейного характера множества решений линейная комбинация решений также является решением дифференциального уравнения. Если Y₁ и Y₂ решения дифференциального уравнения, то С₁ Y₁+ С₂ Y₂ также решение.

Линейность уравнения является только одним параметром классификации и может быть далее разделена на однородные или неоднородные и обыкновенные или дифференциальные уравнения в частных производных. Если функция грамм= 0, то уравнение является линейным однородным дифференциальным уравнением. Если е является функцией двух или более независимых переменных (f: X, T → Y) и Р (х, т) = у , тогда уравнение является линейным уравнением в частных производных.

Метод решения дифференциального уравнения зависит от типа и коэффициентов дифференциального уравнения. Самый простой случай возникает, когда коэффициенты постоянны. Классическим примером для этого случая является второй закон движения Ньютона и его различные приложения. Второй закон Ньютона дает линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Что такое нелинейное дифференциальное уравнение?

Уравнения, содержащие нелинейные члены, называются нелинейными дифференциальными уравнениями..

 

Все вышеперечисленное является нелинейным дифференциальным уравнением. Нелинейные дифференциальные уравнения трудно решить, поэтому для получения правильного решения требуется тщательное изучение. В случае дифференциальных уравнений в частных производных большинство уравнений не имеют общего решения. Следовательно, каждое уравнение должно рассматриваться независимо.

Уравнение Навье-Стокса и уравнение Эйлера в гидродинамике, уравнения общей теории относительности Эйнштейна являются хорошо известными нелинейными уравнениями в частных производных. Иногда применение уравнения Лагранжа к переменной системе может привести к системе нелинейных уравнений в частных производных.

В чем разница между линейными и нелинейными дифференциальными уравнениями?

• Дифференциальное уравнение, которое имеет только линейные члены неизвестной или зависимой переменной и ее производных, известно как линейное дифференциальное уравнение. Он не имеет термина с зависимой переменной индекса выше 1 и не содержит кратных его производных. Он не может иметь нелинейных функций, таких как тригонометрические функции, экспоненциальная функция и логарифмические функции по отношению к зависимой переменной. Любое дифференциальное уравнение, которое содержит вышеупомянутые члены, является нелинейным дифференциальным уравнением.

• Решения линейных дифференциальных уравнений создают векторное пространство, а дифференциальный оператор также является линейным оператором в векторном пространстве..

• Решения линейных дифференциальных уравнений относительно проще, и существуют общие решения. Для нелинейных уравнений в большинстве случаев общего решения не существует, и решение может зависеть от конкретной задачи. Это делает решение намного сложнее, чем линейные уравнения.