Разница между линейным уравнением и нелинейным уравнением

Линейное уравнение против нелинейного уравнения

В математике алгебраические уравнения - это уравнения, которые формируются с использованием полиномов. Когда явно написано, уравнения будут иметь вид P (Икс) = 0, где Икс является вектором из n неизвестных переменных, а P является полиномом. Например, P (x, y) = 4x⁵ + ху³ + y + 10 = 0 - алгебраическое уравнение с двумя переменными, записанными явно. Кроме того, (х + у)³ = 3x²y - 3zy⁴ является алгебраическим уравнением, но в неявном виде и примет вид Q (x, y, z) = x³ + Y³ + 3xy² +3zy⁴ = 0, однажды написано явно.

Важной характеристикой алгебраического уравнения является его степень. Он определяется как наибольшая степень членов, встречающихся в уравнении. Если термин состоит из двух или более переменных, сумма показателей каждой переменной будет приниматься за степень этого термина. Заметим, что согласно этому определению P (x, y) = 0 имеет степень 5, тогда как Q (x, y, z) = 0 имеет степень 5.

Линейные уравнения и нелинейные уравнения являются двухраздельными, определенными на множестве алгебраических уравнений. Степень уравнения является фактором, который отличает их друг от друга.

Что такое линейное уравнение?

Линейное уравнение - это алгебраическое уравнение степени 1. Например, 4x + 5 = 0 - это линейное уравнение одной переменной. x + y + 5z = 0 и 4x = 3w + 5y + 7z - линейные уравнения для 3 и 4 переменных соответственно. В целом, линейное уравнение из n переменных примет вид m₁Икс₁ + м₂Икс₂ +… + М_н-1Икс_н-1 + м_NИкс_N = б. Здесь х_яэто неизвестные переменные, м_яs и b являются действительными числами, где каждый из m_я ненулевой.

Такое уравнение представляет гиперплоскость в n-мерном евклидовом пространстве. В частности, линейное уравнение с двумя переменными представляет прямую линию в декартовой плоскости, а линейное уравнение с тремя переменными представляет плоскость в евклидовом 3-пространстве.

Что такое нелинейное уравнение?

Квадратичное уравнение является алгебраическим уравнением, которое не является линейным. Другими словами, нелинейное уравнение является алгебраическим уравнением степени 2 или выше. Икс² + 3x + 2 = 0 - нелинейное уравнение с одной переменной. Икс² + Y³+ 3xy = 4 и 8yzx² + Y² + 2z² + x + y + z = 4 - примеры нелинейных уравнений с 3 и 4 переменными соответственно.

Нелинейное уравнение второй степени называется квадратным уравнением. Если степень равна 3, то она называется кубическим уравнением. Уравнения степени 4 и степени 5 называются уравнениями четвертого и четвертого порядка соответственно. Было доказано, что не существует аналитического метода для решения любого нелинейного уравнения степени 5, и это верно для любой более высокой степени. Разрешаемые нелинейные уравнения представляют гиперповерхности, которые не являются гиперплоскостями.