Разница между линейным уравнением и квадратичным уравнением

Линейное уравнение против квадратного уравнения

В математике алгебраические уравнения - это уравнения, которые формируются с использованием полиномов. Когда явно написано, уравнения будут иметь вид P (Икс) = 0, где Икс является вектором из n неизвестных переменных, а P является полиномом. Например, P (x, y) = x⁴ + Y³ + Икс²y + 5 = 0 - алгебраическое уравнение двух переменных, записанных явно. Кроме того, (х + у)³= 3x²y - 3zy⁴ является алгебраическим уравнением, но в неявном виде. Он будет иметь вид Q (x, y, z) = x³ + Y³ + 3xy²+3zy⁴= 0, однажды написано явно.

Важной характеристикой алгебраического уравнения является его степень. Он определяется как наибольшая степень членов, встречающихся в уравнении. Если термин состоит из двух или более переменных, сумма показателей каждой переменной будет приниматься за степень этого термина. Заметим, что согласно этому определению P (x, y) = 0 имеет степень 4, тогда как Q (x, y, z) = 0 имеет степень 5.

Линейные уравнения и квадратные уравнения являются двумя различными типами алгебраических уравнений. Степень уравнения является фактором, который отличает их от остальных алгебраических уравнений.

Что такое линейное уравнение?

Линейное уравнение - это алгебраическое уравнение степени 1. Например, 4x + 5 = 0 - это линейное уравнение одной переменной. x + y + 5z = 0 и 4x = 3w + 5y + 7z - линейные уравнения для 3 и 4 переменных соответственно. В целом, линейное уравнение из n переменных примет вид m₁Икс₁ +м₂Икс₂ +… + М_н-1Икс_н-1 + м_NИкс_N = б. Здесь х_яэто неизвестные переменные, м_яs и b являются действительными числами, где каждый из m_я ненулевой.

Такое уравнение представляет гиперплоскость в n-мерном евклидовом пространстве. В частности, линейное уравнение с двумя переменными представляет прямую линию в декартовой плоскости, а линейное уравнение с тремя переменными представляет плоскость в евклидовом 3-пространстве.

Что такое квадратное уравнение?

Квадратичное уравнение является алгебраическим уравнением второй степени. Икс² + 3x + 2 = 0 - квадратное уравнение с одной переменной. Икс² + Y² + 3х = 4 и 4х² + Y² + 2z² + x + y + z = 4 - примеры квадратных уравнений для 2 и 3 переменных соответственно.

В случае с одной переменной общий вид квадратного уравнения - это топор² + bx + c = 0. Где a, b, c - действительные числа, из которых 'a' не равно нулю. Дискриминант ∆ = (b² - 4ac) определяет природу корней квадратного уравнения. Корни уравнения будут по-настоящему отличными, по-настоящему похожими и сложными в соответствии с положительным, нулевым и отрицательным ∆. Корни уравнения легко найти по формуле x = (- b ± √∆) / 2a.

В случае двух переменных, общая форма будет топором² + по² + cxy + dx + ex + f = 0, и это представляет конику (параболу, гиперболу или эллипс) в декартовой плоскости. В более высоких измерениях этот тип уравнений представляет гиперповерхности, известные как квадрики.