Разница между взаимоисключающими и независимыми событиями

Взаимоисключающие и независимые события

Люди часто путают концепцию взаимоисключающих событий с независимыми событиями. На самом деле это две разные вещи.

Пусть A и B - любые два события, связанные со случайным экспериментом E. P (A) называется «Вероятностью A». Точно так же мы можем определить вероятность B как P (B), вероятность A или B как P (A∪B), а вероятность A и B как P (A∩B). Тогда P (A∪B) = P (A) + P (B) -P (A∩B).

Однако два события считаются взаимоисключающими, если возникновение одного события не влияет на другое. Другими словами, они не могут происходить одновременно. Следовательно, если два события A и B являются взаимоисключающими, то A∩B = ∅ и, следовательно, это означает, что P (A∪B) = P (A) + P (B).

Пусть A и B будут двумя событиями в выборочном пространстве S. Условная вероятность A, учитывая, что B произошло, обозначается P (A | B) и определяется как; P (A | B) = P (A∩B) / P (B), при условии, что P (B)> 0. (иначе, это не определено.)

Событие A называется независимым от события B, если вероятность возникновения A не зависит от того, произошел B или нет. Другими словами, исход события B не влияет на исход события A. Следовательно, P (A | B) = P (A). Аналогично, B не зависит от A, если P (B) = P (B | A). Отсюда можно сделать вывод, что если A и B являются независимыми событиями, то P (A∩B) = P (A) .P (B)

Предположим, что пронумерован куб и выпала честная монета. Пусть A будет событием, в котором получение головы, а B будет событием, которое бросает четное число. Затем мы можем сделать вывод, что события A и B независимы, потому что результат одного не влияет на результат другого. Следовательно, P (A∩B) = P (A) .P (B) = (1/2) (1/2) = 1/4. Поскольку P (A∩B) ≠ 0, A и B не могут быть взаимоисключающими.

Предположим, что урна содержит 7 белых и 8 черных шариков. Определите событие A как рисунок белого мрамора, а событие B как рисунок черного мрамора. Предполагая, что каждый мрамор будет заменен после записи его цвета, тогда P (A) и P (B) всегда будут одинаковыми, независимо от того, сколько раз мы берем урну. Замена шариков означает, что вероятности не меняются от рисунка к рисунку, независимо от того, какой цвет мы выбрали на последнем рисунке. Следовательно, события A и B независимы.

Однако если шарики были нарисованы без замены, то все меняется. При этом предположении события A и B не являются независимыми. Рисование белого мрамора в первый раз меняет вероятности рисования черного мрамора во втором розыгрыше и так далее. Другими словами, каждый розыгрыш влияет на следующий розыгрыш, поэтому отдельные розыгрыши не являются независимыми..