Разница между случайными величинами и вероятностным распределением

Случайные величины против распределения вероятностей

Статистические эксперименты - это случайные эксперименты, которые могут повторяться бесконечно с известным набором результатов. И случайные величины, и распределения вероятностей связаны с такими экспериментами. Для каждой случайной величины существует соответствующее распределение вероятностей, определяемое функцией, называемой кумулятивной функцией распределения..

Что такое случайная величина?

Случайная величина - это функция, которая присваивает числовые значения результатам статистического эксперимента. Другими словами, это функция, определенная из выборочного пространства статистического эксперимента в набор действительных чисел.

Например, рассмотрим случайный эксперимент по подбрасыванию монеты дважды. Возможные результаты: HH, HT, TH и TT (H - головы, T - рассказы). Пусть переменная X будет количеством головок, наблюдаемых в эксперименте. Тогда X может принимать значения 0, 1 или 2, и это случайная величина. Здесь случайная величина X отобразит множество S = HH, HT, TH, TT (пространство выборки) на множество 0, 1, 2 таким образом, что HH отображается на 2, HT и TH сопоставляются с 1, а TT сопоставляется с 0. В обозначениях функций это можно записать в виде: X: S → R, где X (HH) = 2, X (HT) = 1, X (TH) = 1 и X ( ТТ) = 0.

Существует два типа случайных величин: дискретные и непрерывные, соответственно число возможных значений, которые может принять случайная величина, не более чем счетно. В предыдущем примере случайная величина X является дискретной случайной величиной, поскольку 0, 1, 2 является конечным множеством. Теперь рассмотрим статистический эксперимент по определению весов учащихся в классе. Пусть Y будет случайной величиной, определенной как вес учащегося. Y может принимать любое реальное значение в течение определенного интервала. Следовательно, Y непрерывная случайная величина.

Что такое распределение вероятностей?

Распределение вероятностей - это функция, описывающая вероятность случайной величины, принимающей определенные значения..

Функция, называемая кумулятивной функцией распределения (F), может быть определена от набора действительных чисел до набора действительных чисел как F (x) = P (X ≤ x) (вероятность X меньше или равна x) для каждый возможный результат х. Теперь накопительную функцию распределения X в первом примере можно записать как F (a) = 0, если<0; F(a)=0.25, if 0≤a<1; F(a)=0.75, if 1≤a<2 and F(a)=1, if a≥2.

В случае дискретных случайных величин функция может быть определена от множества возможных результатов до набора действительных чисел таким образом, что ƒ (x) = P (X = x) (вероятность X равна x) для каждого возможного результата х. Эта конкретная функция called называется функцией массы вероятности случайной величины X. Теперь функцию массы вероятности X в первом конкретном примере можно записать как ƒ (0) = 0.25, ƒ (1) = 0.5, ƒ (2) = 0,25 и ƒ (x) = 0 в противном случае. Таким образом, функция вероятности вместе с кумулятивной функцией распределения будет описывать распределение вероятности X в первом примере..

В случае непрерывных случайных величин функцию, называемую функцией плотности вероятности (ƒ), можно определить как ƒ (x) = dF (x) / dx для каждого x, где F - кумулятивная функция распределения непрерывной случайной величины. Легко видеть, что эта функция удовлетворяет ∫ƒ (x) dx = 1. Функция плотности вероятности вместе с кумулятивной функцией распределения описывает распределение вероятности непрерывной случайной величины. Например, нормальное распределение (которое представляет собой непрерывное распределение вероятностей) описывается с использованием функции плотности вероятности ƒ (x) = 1 / √ (2πσ²) e ^ ([(x-µ)]²/ (2σ²)).