Разница между интегралом Римана и интегралом Лебега

Интеграл Римана против Интеграла Лебега

Интеграция является основной темой в исчислении. В более широком смысле интеграция может рассматриваться как обратный процесс дифференциации. При моделировании реальных проблем легко написать выражения, включающие производные. В такой ситуации операция интегрирования требуется для нахождения функции, которая дала конкретную производную.

С другой стороны, интеграция - это процесс, который суммирует произведение функции ƒ (x) и δx, где δx стремится к определенному пределу. Вот почему мы используем символ интеграции как ∫. Символ ∫ фактически является тем, что мы получаем, растягивая букву s для обозначения суммы.

Интеграл Римана

Рассмотрим функцию y = ƒ (x). Интеграл от у между и б, где и б принадлежат множеству х, записывается как _б∫ƒ (х) дх = [F(Икс)]_→б знак равно F(б) - F(). Это называется определенным интегралом от однозначной и непрерывной функции y = ƒ (x) между a и b. Это дает площадь под кривой между и б. Это также называется интегралом Римана. Интеграл Римана был создан Бернхардом Риманом. Интеграл Римана непрерывной функции основан на мерах Жордана, поэтому он также определяется как предел сумм Римана функции. Для вещественной функции, определенной на отрезке, интеграл Римана функции по разбиению x₁, Икс₂,… , Икс_N определяется на интервале [a, b] и t₁, T₂,…, Т_N, где х_я ≤ т_я ≤ х_{я + 1} для каждого i ε 1, 2,…, n сумма Римана определяется как Σ_{я = о к п-1} ƒ (т_я)(Икс_{я + 1} - Икс_я).

Интеграл Лебега

Лебег - это другой тип интеграла, который охватывает широкий спектр случаев, чем интеграл Римана. Интеграл Лебега был введен Анри Лебегом в 1902 году. Интеграцию Легега можно рассматривать как обобщение интегрирования Римана..

Зачем нам нужно изучать еще один интеграл?

Рассмотрим характеристическую функцию ƒ_{A (x) = 0 если х не ε A}^{1 если x ε A} на множестве А. Тогда конечная линейная комбинация характеристических функций, которая определяется как F(х) = Σа_яƒЕ_я(х) называется простой функцией, если Е_я измерим для каждого я. Интеграл Лебега F(х) более Е обозначается _ЕƑ ƒ (х) дх. Функция F(x) не является интегрируемым по Риману. Поэтому интеграл Лебега является перефразировкой интеграла Римана, который имеет некоторые ограничения на интегрируемые функции.