Разница между ассоциативным и коммутативным

Ассоциативный и Коммутативный
 

В нашей повседневной жизни мы должны использовать числа всякий раз, когда нам нужно что-то измерить. В продуктовом магазине, на заправке и даже на кухне нам нужно сложить, вычесть и умножить две или более величины. Исходя из нашей практики, мы выполняем эти вычисления довольно легко. Мы никогда не замечаем и не задаемся вопросом, почему мы делаем эти операции именно таким образом. Или почему эти вычисления не могут быть выполнены по-другому. Ответ скрыт в том, как эти операции определены в математическом поле алгебры.

В алгебре операция, включающая две величины (например, сложение), определяется как двоичная операция. Точнее, это операция между двумя элементами из набора, и эти элементы называются «операндами». Многие операции в математике, включая арифметические операции, упомянутые ранее и те, которые встречаются в теории множеств, линейной алгебре и математической логике, могут быть определены как бинарные операции.

Существует набор управляющих правил, относящихся к конкретной двоичной операции. Ассоциативные и коммутативные свойства - два фундаментальных свойства бинарных операций..

Подробнее о Коммутативной собственности

Предположим, что некоторая двоичная операция, обозначенная символом ⊗, выполняется над элементами и В. Если порядок операндов не влияет на результат операции, то операция называется коммутативной. т.е. если ⊗ В знак равно В ⊗ тогда операция коммутативна.

Арифметические операции сложения и умножения являются коммутативными. Порядок чисел, сложенных или умноженных вместе, не влияет на окончательный ответ:

+ В знак равно В +     ⇒ 4 + 5 = 5 + 4 = 9

× В знак равно В ×      ⇒ 4 × 5 = 5 × 4 = 20

Но в случае деления изменение в порядке дает противоположность другому, а при вычитании изменение дает отрицание другого. Следовательно,

- В ≠ В -      ⇒ 4 - 5 = -1 и 5 - 4 = 1

÷ В ≠ В ÷      ⇒ 4 ÷ 5 = 0,8 и 5 ÷ 4 = 1,25 [в этом случае ,В ≠ 1 и 0]

На самом деле вычитание называется антикоммутативным; где - В знак равноВ - ).

Кроме того, логические связки, конъюнкция, дизъюнкция, импликация и эквивалентность также являются коммутативными. Функции истины также коммутативны. Объединение и пересечение операций над множествами коммутативны. Сложение и скалярное произведение векторов также коммутативны.

Но векторное вычитание и векторное произведение не коммутативны (векторное произведение двух векторов антикоммутативно). Матричное сложение коммутативно, но умножение и вычитание не коммутативны. (Умножение двух матриц может быть коммутативным в особых случаях, таких как умножение матрицы на ее обратную или единичную матрицу; но определенно матрицы не являются коммутативными, если матрицы не имеют одинаковый размер)

Подробнее об ассоциативной собственности

Двоичная операция называется ассоциативной, если порядок выполнения не влияет на результат при наличии двух или более вхождений оператора. Рассмотрим элементы А, Б и С и бинарная операция ⊗. Операция said называется ассоциативной, если

⊗ В ⊗ С знак равно ⊗ (В ⊗ Сзнак равно⊗ В) ⊗ С

Из основных арифметических функций только сложение и умножение являются ассоциативными.

+ (В + Сзнак равно+ В) + С     ⇒ 4 + (5 + 3) = (5 + 4) + 3 = 12

× (В × Сзнак равно× В) × С     ⇒ 4 × (5 × 3) = (5 × 4) × 3 = 60

Вычитание и деление не являются ассоциативными;

- (В - С) ≠ (- В) - С     ⇒ 4 - (5 - 3) = 2 и (5 - 4) - 3 = -2

÷ (В ÷ С) ≠ (÷ В) ÷ С     ⇒ 4 ÷ (5 ÷ 3) = 2,4 и (5 ÷ 4) ÷ 3 = 0,2666

Логические связки «дизъюнкция», «конъюнкция» и «эквивалентность» являются ассоциативными, а также объединение и пересечение операций над множеством. Матрица и вектор сложения ассоциативны. Скалярное произведение векторов является ассоциативным, а векторное произведение - нет. Матричное умножение ассоциативно только при особых обстоятельствах..

В чем разница между коммутативной и ассоциативной собственностью?

• Как ассоциативное свойство, так и коммутативное свойство являются особыми свойствами бинарных операций, и некоторые удовлетворяют им, а некоторые нет.

• Эти свойства можно увидеть во многих формах алгебраических операций и других бинарных операций в математике, таких как пересечение и объединение в теории множеств или логические связки.

• Различие между коммутативным и ассоциативным свойством состоит в том, что коммутативное свойство утверждает, что порядок элементов не меняет конечного результата, в то время как ассоциативное свойство утверждает, что порядок, в котором выполняется операция, не влияет на окончательный ответ..